💡 Ví dụ 1: Chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $SB$. Chứng minh $MN \parallel (ABCD)$.

Lời giải:

Vì $M$, $N$ là trung điểm của $SA$ và $SB$ nên:

$MN \parallel AB$ (theo định lý đường trung bình)

Mà $AB \subset (ABCD)$ và $MN \not\subset (ABCD)$

Do đó: $MN \parallel (ABCD)$

💡 Ví dụ 2: Chứng minh hai mặt phẳng song song

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Chứng minh $(ABCD) \parallel (A'B'C'D')$.

Lời giải:

Ta có:

• $AA' \parallel BB' \parallel CC' \parallel DD'$ (cạnh bên hình lập phương)
• $AB \parallel A'B'$ và $AD \parallel A'D'$

Trong $(ABCD)$ có $AB$ và $AD$ cắt nhau tại $A$

Trong $(A'B'C'D')$ có $A'B'$ và $A'D'$ cắt nhau tại $A'$

Mà $AB \parallel A'B'$ và $AD \parallel A'D'$

Vậy $(ABCD) \parallel (A'B'C'D')$

💡 Bài toán thiết diện

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Mặt phẳng $(\alpha)$ qua trung điểm $M$ của $SA$ và song song với $SB$ và $SD$. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi $(\alpha)$.

Lời giải:

Gọi $N$, $P$, $Q$ lần lượt là trung điểm của $SB$, $SC$, $SD$.

Vì $(\alpha)$ qua $M$ và song song với $SB$, $SD$ nên:

• $(\alpha)$ cắt $SB$ tại $N$ (trung điểm)
• $(\alpha)$ cắt $SD$ tại $Q$ (trung điểm)
• $(\alpha)$ cắt $SC$ tại $P$ (trung điểm)

Thiết diện là tứ giác $MNPQ$ (hình bình hành).