Sách Toán Phổ Thông

Học toán dễ dàng và hiệu quả

Trang chủ / /

Vector trong không gian Oxyz

1. Lý thuyết

📘 Hệ tọa độ Oxyz

Hệ tọa độ OxyzOxyz trong không gian gồm:

  • Điểm gốc OO
  • Ba trục tọa độ OxOx, OyOy, OzOz vuông góc từng đôi một
  • Ba vector đơn vị i⃗\vec{i}, j⃗\vec{j}, k⃗\vec{k} trên các trục

Vector a⃗\vec{a} có tọa độ (x;y;z)(x; y; z) được viết:

a⃗=xi⃗+yj⃗+zk⃗=(x;y;z)\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k} = (x; y; z)

Điểm MM có tọa độ (x;y;z)(x; y; z): M(x;y;z)M(x; y; z)

📜 Các phép toán với vector trong không gian

Cho a⃗=(x1;y1;z1)\vec{a} = (x_1; y_1; z_1), b⃗=(x2;y2;z2)\vec{b} = (x_2; y_2; z_2), số thực kk:

1. Cộng, trừ vector: a⃗±b⃗=(x1±x2;y1±y2;z1±z2)\vec{a} \pm \vec{b} = (x_1 \pm x_2; y_1 \pm y_2; z_1 \pm z_2)

2. Nhân vector với số: ka⃗=(kx1;ky1;kz1)k\vec{a} = (kx_1; ky_1; kz_1)

3. Tích vô hướng: a⃗⋅b⃗=x1x2+y1y2+z1z2\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2

4. Độ dài vector: ∣a⃗∣=x12+y12+z12|\vec{a}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2}

5. Khoảng cách hai điểm:

Cho A(xA;yA;zA)A(x_A; y_A; z_A), B(xB;yB;zB)B(x_B; y_B; z_B):

AB=∣AB⃗∣=(xB−xA)2+(yB−yA)2+(zB−zA)2AB = |\vec{AB}| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}

📜 Tích có hướng (tích vector)

Tích có hướng của a⃗=(x1;y1;z1)\vec{a} = (x_1; y_1; z_1) và b⃗=(x2;y2;z2)\vec{b} = (x_2; y_2; z_2):

a⃗×b⃗=∣i⃗j⃗k⃗x1y1z1x2y2z2∣\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end{vmatrix}

=(y1z2−z1y2)i⃗−(x1z2−z1x2)j⃗+(x1y2−y1x2)k⃗= (y_1z_2 - z_1y_2)\vec{i} - (x_1z_2 - z_1x_2)\vec{j} + (x_1y_2 - y_1x_2)\vec{k}

Tính chất:

  • a⃗×b⃗\vec{a} \times \vec{b} vuông góc với cả a⃗\vec{a} và b⃗\vec{b}
  • ∣a⃗×b⃗∣=∣a⃗∣⋅∣b⃗∣⋅sin⁡(a⃗,b⃗)|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin(\vec{a}, \vec{b})
  • a⃗\vec{a} và b⃗\vec{b} cùng phương ⇔a⃗×b⃗=0⃗\Leftrightarrow \vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}

2. Ví dụ minh họa

💡 Ví dụ 1: Tọa độ vector và khoảng cách

Cho A(1;2;3)A(1; 2; 3) và B(4;6;5)B(4; 6; 5). Tìm:

a) Tọa độ vector AB⃗\vec{AB}

b) Độ dài ABAB

Lời giải:

a) AB⃗=(4−1;6−2;5−3)=(3;4;2)\vec{AB} = (4-1; 6-2; 5-3) = (3; 4; 2)

b) AB=32+42+22=9+16+4=29AB = \sqrt{3^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 16 + 4} = \sqrt{29}

💡 Ví dụ 2: Tích vô hướng và góc

Cho a⃗=(1;2;2)\vec{a} = (1; 2; 2) và b⃗=(2;−1;1)\vec{b} = (2; -1; 1). Tính góc giữa hai vector.

Lời giải:

Tích vô hướng:

a⃗⋅b⃗=1⋅2+2⋅(−1)+2⋅1=2−2+2=2\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) + 2 \cdot 1 = 2 - 2 + 2 = 2

Độ dài:

∣a⃗∣=12+22+22=9=3|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3

∣b⃗∣=22+(−1)2+12=6|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{6}

cos⁡(a⃗,b⃗)=236=2618=69\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{2}{3\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{18} = \frac{\sqrt{6}}{9}

💡 Ví dụ 3: Tích có hướng

Cho a⃗=(1;2;3)\vec{a} = (1; 2; 3) và b⃗=(2;−1;1)\vec{b} = (2; -1; 1). Tính a⃗×b⃗\vec{a} \times \vec{b}.

Lời giải:

a⃗×b⃗=∣i⃗j⃗k⃗1232−11∣\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix}

=i⃗(2⋅1−3⋅(−1))−j⃗(1⋅1−3⋅2)+k⃗(1⋅(−1)−2⋅2)= \vec{i}(2 \cdot 1 - 3 \cdot (-1)) - \vec{j}(1 \cdot 1 - 3 \cdot 2) + \vec{k}(1 \cdot (-1) - 2 \cdot 2)

=i⃗(2+3)−j⃗(1−6)+k⃗(−1−4)= \vec{i}(2 + 3) - \vec{j}(1 - 6) + \vec{k}(-1 - 4)

=5i⃗+5j⃗−5k⃗=(5;5;−5)= 5\vec{i} + 5\vec{j} - 5\vec{k} = (5; 5; -5)

3. Thực hành

✏️ Bài tập thực hành

Bài 1: Cho A(2;−1;3)A(2; -1; 3), B(5;2;1)B(5; 2; 1). Tìm tọa độ và độ dài AB⃗\vec{AB}.

Bài 2: Cho a⃗=(1;−2;3)\vec{a} = (1; -2; 3), b⃗=(2;1;−1)\vec{b} = (2; 1; -1). Tính:

a) a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b}

b) 2a⃗−3b⃗2\vec{a} - 3\vec{b}

c) a⃗⋅b⃗\vec{a} \cdot \vec{b}

Bài 3: Cho u⃗=(2;1;−1)\vec{u} = (2; 1; -1), v⃗=(1;3;2)\vec{v} = (1; 3; 2). Tính u⃗×v⃗\vec{u} \times \vec{v}.

Bài 4: Tìm tọa độ điểm MM trên trục OzOz sao cho MA=MBMA = MB với A(1;2;3)A(1; 2; 3), B(3;4;1)B(3; 4; 1).

4. Vận dụng

💡 Diện tích tam giác

Cho tam giác ABCABC với A(1;0;0)A(1; 0; 0), B(0;1;0)B(0; 1; 0), C(0;0;1)C(0; 0; 1). Tính diện tích tam giác.

Lời giải:

AB⃗=(−1;1;0),AC⃗=(−1;0;1)\vec{AB} = (-1; 1; 0), \quad \vec{AC} = (-1; 0; 1)

AB⃗×AC⃗=∣i⃗j⃗k⃗−110−101∣\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix}

=i⃗(1−0)−j⃗(−1−0)+k⃗(0+1)=(1;1;1)= \vec{i}(1 - 0) - \vec{j}(-1 - 0) + \vec{k}(0 + 1) = (1; 1; 1)

∣AB⃗×AC⃗∣=12+12+12=3|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}

SABC=12∣AB⃗×AC⃗∣=32S_{ABC} = \frac{1}{2}|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{\sqrt{3}}{2}

5. Trắc nghiệm ôn tập

📋 Trắc nghiệm ôn tập

Câu 1: Cho A(1; 2; 3), B(4; 6; 7). Tọa độ vector AB là:

Câu 2: Độ dài vector a = (2; 2; 1) là:

Câu 3: Cho a = (1; 2; 3), b = (2; -1; 1). Tích vô hướng a·b bằng:

Câu 4: Khoảng cách từ O(0; 0; 0) đến M(3; 4; 0) là:

6. Bài tập làm thêm

📝 Bài tập nâng cao

Bài 1: Cho A(1;2;3)A(1; 2; 3), B(2;−1;1)B(2; -1; 1), C(3;1;−1)C(3; 1; -1). Tìm tọa độ điểm DD sao cho ABCDABCD là hình bình hành.

Bài 2: Cho tứ diện ABCDABCD với A(1;0;0)A(1; 0; 0), B(0;1;0)B(0; 1; 0), C(0;0;1)C(0; 0; 1), D(1;1;1)D(1; 1; 1). Tính thể tích tứ diện.

Bài 3: Tìm tọa độ vector n⃗\vec{n} vuông góc với cả a⃗=(1;2;1)\vec{a} = (1; 2; 1) và b⃗=(2;1;−1)\vec{b} = (2; 1; -1).

Bài 4: Cho a⃗=(m;1;2)\vec{a} = (m; 1; 2), b⃗=(1;m;−1)\vec{b} = (1; m; -1). Tìm mm để a⃗⊥b⃗\vec{a} \perp \vec{b}.