Vector trong không gian Oxyz

1. Lý thuyết

⚡ Hệ tọa độ Oxyz

Hệ tọa độ $Oxyz$ trong không gian gồm:

Điểm gốc $O$
Ba trục tọa độ $Ox$ , $Oy$ , $Oz$ vuông góc từng đôi một
Ba vector đơn vị $\vec{i}$ , $\vec{j}$ , $\vec{k}$ trên các trục

Vector $\vec{a}$ có tọa độ $(x; y; z)$ được viết:

$\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k} = (x; y; z)$

Điểm $M$ có tọa độ $(x; y; z)$ : $M(x; y; z)$

💠 Các phép toán với vector trong không gian

Cho $\vec{a} = (x_1; y_1; z_1)$ , $\vec{b} = (x_2; y_2; z_2)$ , số thực $k$ :

1. Cộng, trừ vector: $\vec{a} \pm \vec{b} = (x_1 \pm x_2; y_1 \pm y_2; z_1 \pm z_2)$

2. Nhân vector với số: $k\vec{a} = (kx_1; ky_1; kz_1)$

3. Tích vô hướng: $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$

4. Độ dài vector: $|\vec{a}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2}$

5. Khoảng cách hai điểm:

Cho $A(x_A; y_A; z_A)$ , $B(x_B; y_B; z_B)$ :

$AB = |\vec{AB}| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$

💠 Tích có hướng (tích vector)

Tích có hướng của $\vec{a} = (x_1; y_1; z_1)$ và $\vec{b} = (x_2; y_2; z_2)$ :

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end{vmatrix}$

$= (y_1z_2 - z_1y_2)\vec{i} - (x_1z_2 - z_1x_2)\vec{j} + (x_1y_2 - y_1x_2)\vec{k}$

Tính chất:

$\vec{a} \times \vec{b}$ vuông góc với cả $\vec{a}$ và $\vec{b}$
$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin(\vec{a}, \vec{b})$
$\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương $\Leftrightarrow \vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$

2. Ví dụ minh họa

💡 Ví dụ 1: Tọa độ vector và khoảng cách

Cho $A(1; 2; 3)$ và $B(4; 6; 5)$ . Tìm:

a) Tọa độ vector $\vec{AB}$

b) Độ dài $AB$

Lời giải:

a) $\vec{AB} = (4-1; 6-2; 5-3) = (3; 4; 2)$

b) $AB = \sqrt{3^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 16 + 4} = \sqrt{29}$

💡 Ví dụ 2: Tích vô hướng và góc

Cho $\vec{a} = (1; 2; 2)$ và $\vec{b} = (2; -1; 1)$ . Tính góc giữa hai vector.

Lời giải:

Tích vô hướng:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) + 2 \cdot 1 = 2 - 2 + 2 = 2$

Độ dài:

$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3$

$|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$

$\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{2}{3\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{18} = \frac{\sqrt{6}}{9}$

💡 Ví dụ 3: Tích có hướng

Cho $\vec{a} = (1; 2; 3)$ và $\vec{b} = (2; -1; 1)$ . Tính $\vec{a} \times \vec{b}$ .

Lời giải:

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix}$

$= \vec{i}(2 \cdot 1 - 3 \cdot (-1)) - \vec{j}(1 \cdot 1 - 3 \cdot 2) + \vec{k}(1 \cdot (-1) - 2 \cdot 2)$

$= \vec{i}(2 + 3) - \vec{j}(1 - 6) + \vec{k}(-1 - 4)$

$= 5\vec{i} + 5\vec{j} - 5\vec{k} = (5; 5; -5)$

3. Thực hành

✍️ Bài tập thực hành

Bài 1: Cho $A(2; -1; 3)$ , $B(5; 2; 1)$ . Tìm tọa độ và độ dài $\vec{AB}$ .

Bài 2: Cho $\vec{a} = (1; -2; 3)$ , $\vec{b} = (2; 1; -1)$ . Tính:

a) $\vec{a} + \vec{b}$

b) $2\vec{a} - 3\vec{b}$

c) $\vec{a} \cdot \vec{b}$

Bài 3: Cho $\vec{u} = (2; 1; -1)$ , $\vec{v} = (1; 3; 2)$ . Tính $\vec{u} \times \vec{v}$ .

Bài 4: Tìm tọa độ điểm $M$ trên trục $Oz$ sao cho $MA = MB$ với $A(1; 2; 3)$ , $B(3; 4; 1)$ .

4. Vận dụng

💡 Diện tích tam giác

Cho tam giác $ABC$ với $A(1; 0; 0)$ , $B(0; 1; 0)$ , $C(0; 0; 1)$ . Tính diện tích tam giác.

Lời giải:

$\vec{AB} = (-1; 1; 0), \quad \vec{AC} = (-1; 0; 1)$

$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix}$

$= \vec{i}(1 - 0) - \vec{j}(-1 - 0) + \vec{k}(0 + 1) = (1; 1; 1)$

$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$

$S_{ABC} = \frac{1}{2}|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{\sqrt{3}}{2}$

5. Trắc nghiệm ôn tập

6. Bài tập làm thêm

🔥 Bài tập nâng cao

Bài 1: Cho $A(1; 2; 3)$ , $B(2; -1; 1)$ , $C(3; 1; -1)$ . Tìm tọa độ điểm $D$ sao cho $ABCD$ là hình bình hành.

Bài 2: Cho tứ diện $ABCD$ với $A(1; 0; 0)$ , $B(0; 1; 0)$ , $C(0; 0; 1)$ , $D(1; 1; 1)$ . Tính thể tích tứ diện.

Bài 3: Tìm tọa độ vector $\vec{n}$ vuông góc với cả $\vec{a} = (1; 2; 1)$ và $\vec{b} = (2; 1; -1)$ .

Bài 4: Cho $\vec{a} = (m; 1; 2)$ , $\vec{b} = (1; m; -1)$ . Tìm $m$ để $\vec{a} \perp \vec{b}$ .