Phương trình bậc hai

1. Lý thuyết

⚡ Định nghĩa phương trình bậc hai

Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng:

$ax^2 + bx + c = 0$

Trong đó:

$x$ là ẩn số
$a, b, c$ là các hệ số ( $a \neq 0$ )

💠 Công thức nghiệm - Định lý Delta

Cho phương trình $ax^2 + bx + c = 0$ với $a \neq 0$ .

Đặt $\Delta = b^2 - 4ac$ (delta - biệt thức)

Kết luận:

Nếu $\Delta < 0$ : Phương trình vô nghiệm
Nếu $\Delta = 0$ : Phương trình có nghiệm kép $x = -\frac{b}{2a}$
Nếu $\Delta > 0$ : Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$

💠 Định lý Vi-ét

Nếu phương trình $ax^2 + bx + c = 0$ có hai nghiệm $x_1, x_2$ thì:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

2. Ví dụ minh họa

💡 Ví dụ 1: Phương trình có hai nghiệm phân biệt

Giải phương trình: $x^2 - 5x + 6 = 0$

Lời giải:

Ta có: $a = 1$ , $b = -5$ , $c = 6$

Tính delta:

$\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 > 0$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 1}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 1}{2} = 2$

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x_1 = 3$ và $x_2 = 2$

💡 Ví dụ 2: Phương trình có nghiệm kép

Giải phương trình: $x^2 - 4x + 4 = 0$

Lời giải:

Ta có: $a = 1$ , $b = -4$ , $c = 4$

$\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 - 16 = 0$

Phương trình có nghiệm kép:

$x = \frac{-(-4)}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$

Vậy phương trình có nghiệm kép $x = 2$

💡 Ví dụ 3: Phương trình vô nghiệm

Giải phương trình: $x^2 + 2x + 5 = 0$

Lời giải:

Ta có: $a = 1$ , $b = 2$ , $c = 5$

$\Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16 < 0$

Vậy phương trình vô nghiệm.

3. Thực hành

✍️ Bài tập thực hành

Giải các phương trình sau:

$x^2 - 7x + 12 = 0$
$2x^2 + 5x - 3 = 0$
$x^2 - 6x + 9 = 0$
$x^2 + x + 1 = 0$
$3x^2 - 12x = 0$

Gợi ý:

Xác định hệ số $a$ , $b$ , $c$
Tính $\Delta = b^2 - 4ac$
Xét dấu của $\Delta$ để kết luận số nghiệm
Áp dụng công thức nghiệm

4. Vận dụng

💡 Bài toán thực tế

Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 3m và diện tích là 54m². Tính kích thước của mảnh vườn.

Lời giải:

Gọi chiều rộng là $x$ (m), điều kiện: $x > 0$

Chiều dài là: $x + 3$ (m)

Diện tích: $x(x + 3) = 54$

$x^2 + 3x - 54 = 0$

Tính delta:

$\Delta = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-54) = 9 + 216 = 225 > 0$

$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{225}}{2} = \frac{-3 + 15}{2} = 6 \text{ (nhận)}$

$x_2 = \frac{-3 - 15}{2} = -9 \text{ (loại)}$

Vậy chiều rộng là 6m, chiều dài là 9m.

5. Trắc nghiệm ôn tập

6. Bài tập làm thêm

🔥 Bài tập nâng cao

Bài 1: Giải các phương trình:

a) $4x^2 - 12x + 9 = 0$

b) $x^2 - 2\sqrt{3}x + 3 = 0$

c) $(x - 1)(x + 2) = 4$

Bài 2: Tìm $m$ để phương trình $x^2 - 2mx + m^2 - 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt.

Bài 3: Cho phương trình $x^2 - 5x + 6 = 0$ có hai nghiệm $x_1, x_2$ . Không giải phương trình, tính:

a) $x_1^2 + x_2^2$

b) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$

c) $|x_1 - x_2|$

Bài 4: Một quả bóng được ném lên cao, độ cao $h$ (mét) của quả bóng sau $t$ giây được cho bởi công thức:

$h = -5t^2 + 20t + 1$

a) Tính độ cao của quả bóng sau 1 giây.

b) Sau bao lâu quả bóng chạm đất?

c) Độ cao lớn nhất mà quả bóng đạt được là bao nhiêu?