Sách Toán Phổ Thông

Học toán dễ dàng và hiệu quả

Trang chủ / /

Đạo hàm và ứng dụng

1. Lý thuyết

📘 Định nghĩa đạo hàm

Đạo hàm của hàm số f(x)f(x) tại điểm x0x_0 là:

f′(x0)=lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)hf'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}

Đạo hàm biểu thị tốc độ thay đổi tức thời của hàm số tại một điểm.

📜 Bảng đạo hàm cơ bản

Hàm sốĐạo hàm
cc (hằng số)00
xnx^nnxn−1nx^{n-1}
x\sqrt{x}12x\frac{1}{2\sqrt{x}}
1x\frac{1}{x}−1x2-\frac{1}{x^2}
sin⁡x\sin xcos⁡x\cos x
cos⁡x\cos x−sin⁡x-\sin x
exe^xexe^x
ln⁡x\ln x1x\frac{1}{x}

Quy tắc tính đạo hàm:

  • (u+v)′=u′+v′(u + v)' = u' + v'
  • (uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv'
  • (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}
  • (u(v(x)))′=u′(v)⋅v′(x)(u(v(x)))' = u'(v) \cdot v'(x) (quy tắc chuỗi)

2. Ví dụ minh họa

💡 Ví dụ 1: Tính đạo hàm cơ bản

Tính đạo hàm của hàm số: f(x)=3x4−2x2+5x−1f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5x - 1

Lời giải:

f′(x)=(3x4)′−(2x2)′+(5x)′−(1)′f'(x) = (3x^4)' - (2x^2)' + (5x)' - (1)'

=3⋅4x3−2⋅2x+5−0= 3 \cdot 4x^3 - 2 \cdot 2x + 5 - 0

=12x3−4x+5= 12x^3 - 4x + 5

💡 Ví dụ 2: Đạo hàm tích

Tính đạo hàm: f(x)=(2x+1)(x2−3)f(x) = (2x + 1)(x^2 - 3)

Lời giải:

Áp dụng quy tắc (uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv':

f′(x)=(2x+1)′⋅(x2−3)+(2x+1)⋅(x2−3)′f'(x) = (2x + 1)' \cdot (x^2 - 3) + (2x + 1) \cdot (x^2 - 3)'

=2(x2−3)+(2x+1)⋅2x= 2(x^2 - 3) + (2x + 1) \cdot 2x

=2x2−6+4x2+2x= 2x^2 - 6 + 4x^2 + 2x

=6x2+2x−6= 6x^2 + 2x - 6

💡 Ví dụ 3: Đạo hàm thương

Tính đạo hàm: f(x)=x2+1x−2f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 2}

Lời giải:

Áp dụng quy tắc (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}:

f′(x)=(x2+1)′⋅(x−2)−(x2+1)⋅(x−2)′(x−2)2f'(x) = \frac{(x^2 + 1)' \cdot (x - 2) - (x^2 + 1) \cdot (x - 2)'}{(x - 2)^2}

=2x(x−2)−(x2+1)⋅1(x−2)2= \frac{2x(x - 2) - (x^2 + 1) \cdot 1}{(x - 2)^2}

=2x2−4x−x2−1(x−2)2= \frac{2x^2 - 4x - x^2 - 1}{(x - 2)^2}

=x2−4x−1(x−2)2= \frac{x^2 - 4x - 1}{(x - 2)^2}

3. Thực hành

✏️ Bài tập thực hành

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

  1. f(x)=5x3−3x2+2x−7f(x) = 5x^3 - 3x^2 + 2x - 7
  2. f(x)=(x2+1)(x−3)f(x) = (x^2 + 1)(x - 3)
  3. f(x)=2x+1x2+1f(x) = \frac{2x + 1}{x^2 + 1}
  4. f(x)=x2+1f(x) = \sqrt{x^2 + 1}
  5. f(x)=x2sin⁡xf(x) = x^2 \sin x

4. Ứng dụng đạo hàm

💡 Tìm tiếp tuyến

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=x3−3x+1y = x^3 - 3x + 1 tại điểm có hoành độ x0=1x_0 = 1.

Lời giải:

Tính y0=13−3⋅1+1=−1y_0 = 1^3 - 3 \cdot 1 + 1 = -1

Tính đạo hàm: y′=3x2−3y' = 3x^2 - 3

Hệ số góc tiếp tuyến: k=y′(1)=3⋅12−3=0k = y'(1) = 3 \cdot 1^2 - 3 = 0

Phương trình tiếp tuyến:

y−(−1)=0(x−1)y - (-1) = 0(x - 1)

y=−1y = -1

5. Trắc nghiệm ôn tập

📋 Trắc nghiệm ôn tập

Câu 1: Đạo hàm của f(x) = x³ là:

Câu 2: Đạo hàm của f(x) = 5 là:

Câu 3: Nếu f(x) = 2x² - 3x + 1, thì f'(x) bằng:

Câu 4: Đạo hàm của sin x là:

6. Bài tập làm thêm

📝 Bài tập nâng cao

Bài 1: Tính đạo hàm:

a) f(x)=(x2+1)3f(x) = (x^2 + 1)^3

b) f(x)=sin⁡(2x+1)f(x) = \sin(2x + 1)

c) f(x)=ex2f(x) = e^{x^2}

Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 tại điểm có hoành độ x0=2x_0 = 2.

Bài 3: Tìm các điểm trên đồ thị hàm số y=x3−3x2+2y = x^3 - 3x^2 + 2 mà tiếp tuyến tại đó song song với trục hoành.

Bài 4: Chứng minh rằng hàm số f(x)=x3−3x+1f(x) = x^3 - 3x + 1 có đạo hàm bằng 0 tại hai điểm phân biệt.