Công thức lượng giác cơ bản

1. Lý thuyết

⚡ Định nghĩa các hàm lượng giác

Cho góc $\alpha$ trong tam giác vuông, ta có:

$\sin \alpha = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh huyền}}$

$\cos \alpha = \frac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh huyền}}$

$\tan \alpha = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh kề}} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$

$\cot \alpha = \frac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh đối}} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$

💠 Công thức lượng giác cơ bản

1. Công thức Pythagore:

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$

$1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$

$1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$

2. Công thức góc đối:

$\sin(-\alpha) = -\sin \alpha$

$\cos(-\alpha) = \cos \alpha$

$\tan(-\alpha) = -\tan \alpha$

3. Công thức cộng:

$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$

$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$

$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$

2. Ví dụ minh họa

💡 Ví dụ 1: Tính giá trị lượng giác

Cho $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ và $0° < \alpha < 90°$ . Tính $\cos \alpha$ và $\tan \alpha$ .

Lời giải:

Từ công thức $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ , ta có:

$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

Vì $0° < \alpha < 90°$ nên $\cos \alpha > 0$ :

$\cos \alpha = \frac{4}{5}$

Do đó:

$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}$

💡 Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức

Rút gọn biểu thức: $A = \sin^2 x + \cos^2 x + \tan^2 x - \frac{1}{\cos^2 x}$

Lời giải:

Ta có:

$A = \sin^2 x + \cos^2 x + \tan^2 x - \frac{1}{\cos^2 x}$

$= 1 + \tan^2 x - \frac{1}{\cos^2 x}$

Mà $1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$ , nên:

$A = \frac{1}{\cos^2 x} - \frac{1}{\cos^2 x} = 0$

3. Thực hành

✍️ Bài tập thực hành

Bài 1: Cho $\cos \alpha = \frac{5}{13}$ và $0° < \alpha < 90°$ . Tính $\sin \alpha$ , $\tan \alpha$ , $\cot \alpha$ .

Bài 2: Chứng minh các đẳng thức sau:

a) $\sin^4 x + \cos^4 x = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x$

b) $\frac{1 - \cos x}{\sin x} = \frac{\sin x}{1 + \cos x}$

Bài 3: Tính giá trị của biểu thức:

$B = \sin 30° \cos 60° + \cos 30° \sin 60°$

4. Vận dụng

💡 Bài toán thực tế

Một cái thang dài 5m được đặt dựa vào tường, tạo với mặt đất một góc $60°$ . Hỏi chân thang cách tường bao nhiêu mét?

Lời giải:

Gọi khoảng cách từ chân thang đến tường là $x$ (m).

Ta có:

$\cos 60° = \frac{x}{5}$

$\frac{1}{2} = \frac{x}{5}$

$x = \frac{5}{2} = 2.5 \text{ (m)}$

Vậy chân thang cách tường 2.5m.

5. Trắc nghiệm ôn tập

6. Bài tập làm thêm

🔥 Bài tập nâng cao

Bài 1: Cho $\tan \alpha = 2$ . Tính:

a) $\sin \alpha$ và $\cos \alpha$

b) $\frac{3\sin \alpha - 2\cos \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha}$

Bài 2: Chứng minh các đẳng thức:

a) $\tan x + \cot x = \frac{1}{\sin x \cos x}$

b) $(\sin x + \cos x)^2 = 1 + 2\sin x \cos x$

c) $\frac{1 - \sin x}{\cos x} = \frac{\cos x}{1 + \sin x}$

Bài 3: Tính giá trị biểu thức:

$C = \sin^2 15° + \sin^2 30° + \sin^2 45° + \sin^2 60° + \sin^2 75°$

Bài 4: Một tòa nhà cao 50m. Từ một điểm trên mặt đất, người ta nhìn thấy đỉnh tòa nhà với góc nâng $45°$ . Tính khoảng cách từ điểm đó đến chân tòa nhà.