Sách Toán Phổ Thông

Học toán dễ dàng và hiệu quả

Trang chủ / /

Công thức lượng giác cơ bản

1. Lý thuyết

📘 Định nghĩa các hàm lượng giác

Cho góc α\alpha trong tam giác vuông, ta có:

sin⁡α=cạnh đoˆˊicạnh huyeˆˋn\sin \alpha = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh huyền}}

cos⁡α=cạnh keˆˋcạnh huyeˆˋn\cos \alpha = \frac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh huyền}}

tan⁡α=cạnh đoˆˊicạnh keˆˋ=sin⁡αcos⁡α\tan \alpha = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh kề}} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}

cot⁡α=cạnh keˆˋcạnh đoˆˊi=cos⁡αsin⁡α\cot \alpha = \frac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh đối}} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}

📜 Công thức lượng giác cơ bản

1. Công thức Pythagore:

sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1

1+tan⁡2α=1cos⁡2α1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}

1+cot⁡2α=1sin⁡2α1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}

2. Công thức góc đối:

sin⁡(−α)=−sin⁡α\sin(-\alpha) = -\sin \alpha

cos⁡(−α)=cos⁡α\cos(-\alpha) = \cos \alpha

tan⁡(−α)=−tan⁡α\tan(-\alpha) = -\tan \alpha

3. Công thức cộng:

sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta

cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta

tan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}

2. Ví dụ minh họa

💡 Ví dụ 1: Tính giá trị lượng giác

Cho sin⁡α=35\sin \alpha = \frac{3}{5} và 0°<α<90°0° < \alpha < 90°. Tính cos⁡α\cos \alpha và tan⁡α\tan \alpha.

Lời giải:

Từ công thức sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1, ta có:

cos⁡2α=1−sin⁡2α=1−(35)2=1−925=1625\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}

Vì 0°<α<90°0° < \alpha < 90° nên cos⁡α>0\cos \alpha > 0:

cos⁡α=45\cos \alpha = \frac{4}{5}

Do đó:

tan⁡α=sin⁡αcos⁡α=3/54/5=34\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}

💡 Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức

Rút gọn biểu thức: A=sin⁡2x+cos⁡2x+tan⁡2x−1cos⁡2xA = \sin^2 x + \cos^2 x + \tan^2 x - \frac{1}{\cos^2 x}

Lời giải:

Ta có:

A=sin⁡2x+cos⁡2x+tan⁡2x−1cos⁡2xA = \sin^2 x + \cos^2 x + \tan^2 x - \frac{1}{\cos^2 x}

=1+tan⁡2x−1cos⁡2x= 1 + \tan^2 x - \frac{1}{\cos^2 x}

Mà 1+tan⁡2x=1cos⁡2x1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}, nên:

A=1cos⁡2x−1cos⁡2x=0A = \frac{1}{\cos^2 x} - \frac{1}{\cos^2 x} = 0

3. Thực hành

✏️ Bài tập thực hành

Bài 1: Cho cos⁡α=513\cos \alpha = \frac{5}{13} và 0°<α<90°0° < \alpha < 90°. Tính sin⁡α\sin \alpha, tan⁡α\tan \alpha, cot⁡α\cot \alpha.

Bài 2: Chứng minh các đẳng thức sau:

a) sin⁡4x+cos⁡4x=1−2sin⁡2xcos⁡2x\sin^4 x + \cos^4 x = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x

b) 1−cos⁡xsin⁡x=sin⁡x1+cos⁡x\frac{1 - \cos x}{\sin x} = \frac{\sin x}{1 + \cos x}

Bài 3: Tính giá trị của biểu thức:

B=sin⁡30°cos⁡60°+cos⁡30°sin⁡60°B = \sin 30° \cos 60° + \cos 30° \sin 60°

4. Vận dụng

💡 Bài toán thực tế

Một cái thang dài 5m được đặt dựa vào tường, tạo với mặt đất một góc 60°60°. Hỏi chân thang cách tường bao nhiêu mét?

Lời giải:

Gọi khoảng cách từ chân thang đến tường là xx (m).

Ta có:

cos⁡60°=x5\cos 60° = \frac{x}{5}

12=x5\frac{1}{2} = \frac{x}{5}

x=52=2.5 (m)x = \frac{5}{2} = 2.5 \text{ (m)}

Vậy chân thang cách tường 2.5m.

5. Trắc nghiệm ôn tập

📋 Trắc nghiệm ôn tập

Câu 1: Giá trị của sin²α + cos²α bằng:

Câu 2: Nếu sin α = 0.6 và 0° < α < 90°, thì cos α bằng:

Câu 3: Giá trị của sin 30° là:

Câu 4: Công thức nào sau đây đúng?

6. Bài tập làm thêm

📝 Bài tập nâng cao

Bài 1: Cho tan⁡α=2\tan \alpha = 2. Tính:

a) sin⁡α\sin \alpha và cos⁡α\cos \alpha

b) 3sin⁡α−2cos⁡αsin⁡α+cos⁡α\frac{3\sin \alpha - 2\cos \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha}

Bài 2: Chứng minh các đẳng thức:

a) tan⁡x+cot⁡x=1sin⁡xcos⁡x\tan x + \cot x = \frac{1}{\sin x \cos x}

b) (sin⁡x+cos⁡x)2=1+2sin⁡xcos⁡x(\sin x + \cos x)^2 = 1 + 2\sin x \cos x

c) 1−sin⁡xcos⁡x=cos⁡x1+sin⁡x\frac{1 - \sin x}{\cos x} = \frac{\cos x}{1 + \sin x}

Bài 3: Tính giá trị biểu thức:

C=sin⁡215°+sin⁡230°+sin⁡245°+sin⁡260°+sin⁡275°C = \sin^2 15° + \sin^2 30° + \sin^2 45° + \sin^2 60° + \sin^2 75°

Bài 4: Một tòa nhà cao 50m. Từ một điểm trên mặt đất, người ta nhìn thấy đỉnh tòa nhà với góc nâng 45°45°. Tính khoảng cách từ điểm đó đến chân tòa nhà.