Vector trong mặt phẳng Oxy

1. Lý thuyết

⚡ Tọa độ vector

Trong hệ trục tọa độ $Oxy$ , vector $\vec{a}$ có tọa độ $(x; y)$ được viết:

$\vec{a} = (x; y) = x\vec{i} + y\vec{j}$

Trong đó:

$x$ là hoành độ của vector
$y$ là tung độ của vector
$\vec{i}, \vec{j}$ là các vector đơn vị trên trục $Ox, Oy$

💠 Các phép toán với vector

Cho $\vec{a} = (x_1; y_1)$ và $\vec{b} = (x_2; y_2)$ , số thực $k$ :

1. Cộng vector: $\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2; y_1 + y_2)$

2. Trừ vector: $\vec{a} - \vec{b} = (x_1 - x_2; y_1 - y_2)$

3. Nhân vector với số: $k\vec{a} = (kx_1; ky_1)$

4. Tích vô hướng: $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$

5. Độ dài vector: $|\vec{a}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}$

6. Góc giữa hai vector: $\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

💠 Điều kiện đặc biệt

1. Hai vector cùng phương:

$\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương $\Leftrightarrow \frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}$ hoặc $x_1y_2 = x_2y_1$

2. Hai vector vuông góc:

$\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \Leftrightarrow x_1x_2 + y_1y_2 = 0$

2. Ví dụ minh họa

💡 Ví dụ 1: Tọa độ vector

Cho $A(1; 2)$ và $B(4; 6)$ . Tìm tọa độ vector $\vec{AB}$ .

Lời giải:

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (4 - 1; 6 - 2) = (3; 4)$

Độ dài vector:

$|\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

💡 Ví dụ 2: Phép toán vector

Cho $\vec{a} = (2; 3)$ và $\vec{b} = (-1; 4)$ . Tính:

a) $\vec{a} + \vec{b}$

b) $2\vec{a} - 3\vec{b}$

c) $\vec{a} \cdot \vec{b}$

Lời giải:

a) $\vec{a} + \vec{b} = (2 + (-1); 3 + 4) = (1; 7)$

b) $2\vec{a} - 3\vec{b} = 2(2; 3) - 3(-1; 4) = (4; 6) - (-3; 12) = (7; -6)$

c) $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot (-1) + 3 \cdot 4 = -2 + 12 = 10$

💡 Ví dụ 3: Góc giữa hai vector

Cho $\vec{a} = (3; 4)$ và $\vec{b} = (4; 3)$ . Tính góc giữa hai vector.

Lời giải:

Tính tích vô hướng:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 4 + 4 \cdot 3 = 12 + 12 = 24$

Tính độ dài:

$|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$

$|\vec{b}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$

$\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{24}{5 \cdot 5} = \frac{24}{25} = 0.96$

$(\vec{a}, \vec{b}) = \arccos(0.96) \approx 16.26°$

3. Thực hành

✍️ Bài tập thực hành

Bài 1: Cho $A(2; 3)$ , $B(5; 7)$ . Tìm tọa độ và độ dài vector $\vec{AB}$ .

Bài 2: Cho $\vec{a} = (1; -2)$ , $\vec{b} = (3; 4)$ . Tính:

a) $\vec{a} + \vec{b}$

b) $3\vec{a} - 2\vec{b}$

c) $|\vec{a}|$ và $|\vec{b}|$

Bài 3: Cho $\vec{u} = (2; 3)$ , $\vec{v} = (4; -1)$ . Kiểm tra xem hai vector có vuông góc không?

Bài 4: Tìm $k$ để hai vector $\vec{a} = (k; 2)$ và $\vec{b} = (3; 6)$ cùng phương.

4. Vận dụng

💡 Bài toán hình học

Cho tam giác $ABC$ với $A(1; 2)$ , $B(4; 3)$ , $C(2; 5)$ .

a) Tìm tọa độ trọng tâm $G$

b) Chứng minh tam giác $ABC$ vuông tại $A$

Lời giải:

a) Tọa độ trọng tâm:

$G\left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}; \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right) = \left(\frac{1 + 4 + 2}{3}; \frac{2 + 3 + 5}{3}\right)$

$G\left(\frac{7}{3}; \frac{10}{3}\right)$

b) Tính các vector:

$\vec{AB} = (3; 1), \quad \vec{AC} = (1; 3)$

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 3 \cdot 1 + 1 \cdot 3 = 3 + 3 = 6 \neq 0$

Vậy tam giác không vuông tại $A$ .

5. Trắc nghiệm ôn tập

6. Bài tập làm thêm

🔥 Bài tập nâng cao

Bài 1: Cho $\vec{a} = (2; -3)$ , $\vec{b} = (1; 4)$ . Tìm vector $\vec{c}$ sao cho:

$2\vec{a} + 3\vec{c} = \vec{b}$

Bài 2: Cho tam giác $ABC$ với $A(1; 1)$ , $B(4; 2)$ , $C(3; 5)$ . Tìm tọa độ:

a) Trọng tâm $G$

b) Trực tâm $H$ (giao điểm các đường cao)

Bài 3: Tìm tọa độ điểm $M$ trên trục $Ox$ sao cho $MA = MB$ với $A(2; 3)$ , $B(6; 1)$ .

Bài 4: Cho $\vec{a} = (m; 2)$ , $\vec{b} = (3; m-1)$ . Tìm $m$ để:

a) $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương

b) $\vec{a}$ và $\vec{b}$ vuông góc