💡 Ví dụ 1: Tọa độ vector

Cho $A(1; 2)$ và $B(4; 6)$. Tìm tọa độ vector $\vec{AB}$.

Lời giải:

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (4 - 1; 6 - 2) = (3; 4)$

Độ dài vector:

$|\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

💡 Ví dụ 2: Phép toán vector

Cho $\vec{a} = (2; 3)$ và $\vec{b} = (-1; 4)$. Tính:

a) $\vec{a} + \vec{b}$

b) $2\vec{a} - 3\vec{b}$

c) $\vec{a} \cdot \vec{b}$

Lời giải:

a) $\vec{a} + \vec{b} = (2 + (-1); 3 + 4) = (1; 7)$

b) $2\vec{a} - 3\vec{b} = 2(2; 3) - 3(-1; 4) = (4; 6) - (-3; 12) = (7; -6)$

c) $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot (-1) + 3 \cdot 4 = -2 + 12 = 10$

💡 Ví dụ 3: Góc giữa hai vector

Cho $\vec{a} = (3; 4)$ và $\vec{b} = (4; 3)$. Tính góc giữa hai vector.

Lời giải:

Tính tích vô hướng:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 4 + 4 \cdot 3 = 12 + 12 = 24$

Tính độ dài:

$|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$

$|\vec{b}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$

$\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{24}{5 \cdot 5} = \frac{24}{25} = 0.96$

$(\vec{a}, \vec{b}) = \arccos(0.96) \approx 16.26°$

💡 Bài toán hình học

Cho tam giác $ABC$ với $A(1; 2)$, $B(4; 3)$, $C(2; 5)$.

a) Tìm tọa độ trọng tâm $G$

b) Chứng minh tam giác $ABC$ vuông tại $A$

Lời giải:

a) Tọa độ trọng tâm:

$G\left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}; \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right) = \left(\frac{1 + 4 + 2}{3}; \frac{2 + 3 + 5}{3}\right)$

$G\left(\frac{7}{3}; \frac{10}{3}\right)$

b) Tính các vector:

$\vec{AB} = (3; 1), \quad \vec{AC} = (1; 3)$

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 3 \cdot 1 + 1 \cdot 3 = 3 + 3 = 6 \neq 0$

Vậy tam giác không vuông tại $A$.