Nguyên hàm cơ bản

1. Lý thuyết

⚡ Định nghĩa nguyên hàm

Hàm số $F(x)$ được gọi là nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên khoảng $K$ nếu:

$F'(x) = f(x), \quad \forall x \in K$

Ký hiệu: $\int f(x)dx = F(x) + C$ (với $C$ là hằng số)

💠 Bảng nguyên hàm cơ bản

Hàm số $f(x)$	Nguyên hàm $\int f(x)dx$
$0$	$C$
$x^n$ $(n \neq -1)$	$\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$
$\frac{1}{x}$	$\ln
$e^x$	$e^x + C$
$\sin x$	$-\cos x + C$
$\cos x$	$\sin x + C$
$\frac{1}{\cos^2 x}$	$\tan x + C$
$\frac{1}{\sin^2 x}$	$-\cot x + C$

Tính chất:

$\int [f(x) + g(x)]dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx$
$\int kf(x)dx = k\int f(x)dx$ (với $k$ là hằng số)

2. Ví dụ minh họa

💡 Ví dụ 1: Nguyên hàm đa thức

Tính nguyên hàm: $\int (3x^2 - 2x + 5)dx$

Lời giải:

$\int (3x^2 - 2x + 5)dx = \int 3x^2dx - \int 2xdx + \int 5dx$

$= 3 \cdot \frac{x^3}{3} - 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 5x + C$

$= x^3 - x^2 + 5x + C$

💡 Ví dụ 2: Nguyên hàm lượng giác

Tính nguyên hàm: $\int (2\sin x + 3\cos x)dx$

Lời giải:

$\int (2\sin x + 3\cos x)dx = 2\int \sin xdx + 3\int \cos xdx$

$= 2(-\cos x) + 3\sin x + C$

$= -2\cos x + 3\sin x + C$

💡 Ví dụ 3: Nguyên hàm hàm hợp

Tính nguyên hàm: $\int (2x + 1)^3dx$

Lời giải:

Đặt $u = 2x + 1 \Rightarrow du = 2dx \Rightarrow dx = \frac{du}{2}$

$\int (2x + 1)^3dx = \int u^3 \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^4}{4} + C$

$= \frac{u^4}{8} + C = \frac{(2x + 1)^4}{8} + C$

3. Thực hành

✍️ Bài tập thực hành

Tính các nguyên hàm sau:

$\int (x^3 - 2x + 1)dx$
$\int (4x^2 + 3x - 5)dx$
$\int (\sin x - \cos x)dx$
$\int \frac{1}{x^2}dx$
$\int e^xdx$

Gợi ý: Áp dụng bảng nguyên hàm cơ bản và tính chất tuyến tính.

4. Vận dụng

💡 Tìm nguyên hàm thỏa điều kiện

Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = 2x + 3$ , biết $F(1) = 5$ .

Lời giải:

Tính nguyên hàm:

$F(x) = \int (2x + 3)dx = x^2 + 3x + C$

Sử dụng điều kiện $F(1) = 5$ :

$F(1) = 1^2 + 3 \cdot 1 + C = 5$

$4 + C = 5 \Rightarrow C = 1$

Vậy $F(x) = x^2 + 3x + 1$

5. Trắc nghiệm ôn tập

6. Bài tập làm thêm

🔥 Bài tập nâng cao

Bài 1: Tính các nguyên hàm:

a) $\int (x + 1)^2dx$

b) $\int \frac{2x + 3}{x}dx$

c) $\int (e^x + \sin x)dx$

Bài 2: Tìm nguyên hàm $F(x)$ của $f(x) = 3x^2 - 4x + 1$ , biết $F(0) = 2$ .

Bài 3: Chứng minh rằng nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ thì $F(x) + C$ (với $C$ là hằng số bất kỳ) cũng là nguyên hàm của $f(x)$ .

Bài 4: Tính: $\int \frac{x^2 + 1}{x}dx$