Sách Toán Phổ Thông

Học toán dễ dàng và hiệu quả

Trang chủ / /

Nguyên hàm cơ bản

1. Lý thuyết

📘 Định nghĩa nguyên hàm

Hàm số F(x)F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x)f(x) trên khoảng KK nếu:

F′(x)=f(x),∀x∈KF'(x) = f(x), \quad \forall x \in K

Ký hiệu: ∫f(x)dx=F(x)+C\int f(x)dx = F(x) + C (với CC là hằng số)

📜 Bảng nguyên hàm cơ bản

Hàm số f(x)f(x)Nguyên hàm ∫f(x)dx\int f(x)dx
00CC
xnx^n (n≠−1)(n \neq -1)xn+1n+1+C\frac{x^{n+1}}{n+1} + C
1x\frac{1}{x}$\ln
exe^xex+Ce^x + C
sin⁡x\sin x−cos⁡x+C-\cos x + C
cos⁡x\cos xsin⁡x+C\sin x + C
1cos⁡2x\frac{1}{\cos^2 x}tan⁡x+C\tan x + C
1sin⁡2x\frac{1}{\sin^2 x}−cot⁡x+C-\cot x + C

Tính chất:

  • ∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx\int [f(x) + g(x)]dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx
  • ∫kf(x)dx=k∫f(x)dx\int kf(x)dx = k\int f(x)dx (với kk là hằng số)

2. Ví dụ minh họa

💡 Ví dụ 1: Nguyên hàm đa thức

Tính nguyên hàm: ∫(3x2−2x+5)dx\int (3x^2 - 2x + 5)dx

Lời giải:

∫(3x2−2x+5)dx=∫3x2dx−∫2xdx+∫5dx\int (3x^2 - 2x + 5)dx = \int 3x^2dx - \int 2xdx + \int 5dx

=3⋅x33−2⋅x22+5x+C= 3 \cdot \frac{x^3}{3} - 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 5x + C

=x3−x2+5x+C= x^3 - x^2 + 5x + C

💡 Ví dụ 2: Nguyên hàm lượng giác

Tính nguyên hàm: ∫(2sin⁡x+3cos⁡x)dx\int (2\sin x + 3\cos x)dx

Lời giải:

∫(2sin⁡x+3cos⁡x)dx=2∫sin⁡xdx+3∫cos⁡xdx\int (2\sin x + 3\cos x)dx = 2\int \sin xdx + 3\int \cos xdx

=2(−cos⁡x)+3sin⁡x+C= 2(-\cos x) + 3\sin x + C

=−2cos⁡x+3sin⁡x+C= -2\cos x + 3\sin x + C

💡 Ví dụ 3: Nguyên hàm hàm hợp

Tính nguyên hàm: ∫(2x+1)3dx\int (2x + 1)^3dx

Lời giải:

Đặt u=2x+1⇒du=2dx⇒dx=du2u = 2x + 1 \Rightarrow du = 2dx \Rightarrow dx = \frac{du}{2}

∫(2x+1)3dx=∫u3⋅du2=12⋅u44+C\int (2x + 1)^3dx = \int u^3 \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^4}{4} + C

=u48+C=(2x+1)48+C= \frac{u^4}{8} + C = \frac{(2x + 1)^4}{8} + C

3. Thực hành

✏️ Bài tập thực hành

Tính các nguyên hàm sau:

  1. ∫(x3−2x+1)dx\int (x^3 - 2x + 1)dx
  2. ∫(4x2+3x−5)dx\int (4x^2 + 3x - 5)dx
  3. ∫(sin⁡x−cos⁡x)dx\int (\sin x - \cos x)dx
  4. ∫1x2dx\int \frac{1}{x^2}dx
  5. ∫exdx\int e^xdx

Gợi ý: Áp dụng bảng nguyên hàm cơ bản và tính chất tuyến tính.

4. Vận dụng

💡 Tìm nguyên hàm thỏa điều kiện

Tìm nguyên hàm F(x)F(x) của hàm số f(x)=2x+3f(x) = 2x + 3, biết F(1)=5F(1) = 5.

Lời giải:

Tính nguyên hàm:

F(x)=∫(2x+3)dx=x2+3x+CF(x) = \int (2x + 3)dx = x^2 + 3x + C

Sử dụng điều kiện F(1)=5F(1) = 5:

F(1)=12+3⋅1+C=5F(1) = 1^2 + 3 \cdot 1 + C = 5

4+C=5⇒C=14 + C = 5 \Rightarrow C = 1

Vậy F(x)=x2+3x+1F(x) = x^2 + 3x + 1

5. Trắc nghiệm ôn tập

📋 Trắc nghiệm ôn tập

Câu 1: Nguyên hàm của f(x) = x² là:

Câu 2: ∫ cos x dx bằng:

Câu 3: ∫ (3x² + 2x) dx bằng:

Câu 4: Nguyên hàm của f(x) = 1/x là:

6. Bài tập làm thêm

📝 Bài tập nâng cao

Bài 1: Tính các nguyên hàm:

a) ∫(x+1)2dx\int (x + 1)^2dx

b) ∫2x+3xdx\int \frac{2x + 3}{x}dx

c) ∫(ex+sin⁡x)dx\int (e^x + \sin x)dx

Bài 2: Tìm nguyên hàm F(x)F(x) của f(x)=3x2−4x+1f(x) = 3x^2 - 4x + 1, biết F(0)=2F(0) = 2.

Bài 3: Chứng minh rằng nếu F(x)F(x) là một nguyên hàm của f(x)f(x) thì F(x)+CF(x) + C (với CC là hằng số bất kỳ) cũng là nguyên hàm của f(x)f(x).

Bài 4: Tính: ∫x2+1xdx\int \frac{x^2 + 1}{x}dx